【数学笔记】常用的乘法公式

引入

相信我们初中都学过俩个公式:

a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b)(a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2

然后首先注意的是这里面的 aabb 都可以用整体思想,比如说:

(x2x+1)(x+2x+1)(x-2x+1)(x+2x+1) 完全可以套平方差公式,只需要把 x+1x+1 看成 aa2x2x 看成 bb 即可

新知识

和差的几次方公式

和的几次方公式

那首先来了解一下和的几次方公式(先算和再算平方):

先来给一个和的立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

其中,从第一项到最后一项 aa 的系数从 33 降到 00bb 的系数从 00 升到 33

到这里我们就可以总结出一个规律:对于和的几次方公式,aa 降幂排列,bb 升幂排列

至于系数,我们可以用杨辉三角形解释:

杨辉三角形(图片来源:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6688

对于 (a+b)n(a+b)^n 来说,它的系数就如上图 杨辉三角形 所示。数字的来源也是有规律的,譬如第三行的 1 3 3 1,其实就是左右两端写 11,然后中间左边的 33 是上面一行左边的 11 加上中间的 22 得来的;右边也就是第二个三是中间的 22 加上面一行右边的 11 来的。

差的几次方公式

我们刚刚已经讲了和的几次方公式,差的几次方公式展开每一项的字母和数字保持一致,但是符号是从第一项开始为正号,后面依次负号正号负号这样循环,比如差的立方公式:

(ab)3=a33a2b+3ab2b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

感受一下。

立方差和立方和公式

不需要具体知道是如何推导出来的,用的也不会很多。但是用到的时候就必须要会记,所以这两个公式就背一下吧!

立方差公式:a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

实战

第一道

已知 a=1996x+1995a=1996x+1995b=1996x+1996b=1996x+1996c=1996x+1997c=1996x+1997,那么 a2+b2+c2abbccaa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca 的值为多少?

相信我们的头铁大军已经开始马不停蹄地带入进去了。仔细观察一下,这一长串要求的式子最高就二次方,其实是只能带 平方差公式完全平方公式 的。可能会有人好奇 立方差公式立方和公式 都有类似的形式,但是其实如果要凑出那种形式相乘,几乎是不存在的。这里就从 完全平方公式 下手,因为二次项都为正。

不知道有没有人跟我一样,首先想着这么凑公式:(a2b2)=a22ab+b2(a^2-b^2)=a^2-2ab+b^2 再加会一个 ab 就齐全了。但是这样的话会出现一个问题,就是 ab 出来了,但是我们的 a2a^2 或是 b2b^2 已经被套完,后面每一项都有 cc,提公因式也不好提,所以除了加减去凑,还可以直接全部乘以二。这样做也有依据,在 完全平方公式 中的中间项都是有系数 2 的,从这个角度切入,这道题就迎刃而解了。

a2+b2+c2abbcca=2(a2+b2+c2abbcca)2=2a2+2b2+2c22ab2bc2ca2=(a22ab+b2)+(a22ac+c2)+(b22bc+c2)2=(ab)2+(ac)2+(bc)22\begin{align*} a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca &= \frac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{2}\\ &= \frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca}{2}\\ &= \frac{(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)}{2}\\ &= \frac{(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2}{2} \end{align*}

a=1996x+1995a=1996x+1995b=1996x+1996b=1996x+1996c=1996x+1997c=1996x+1997 带入,得:

ab=(1996x+1995)(1996x+1996)=1ac=(1996x+1995)(1996x+1997)=2bc=(1996x+1996)(1996x+1997)=1a-b=(1996x+1995)-(1996x+1996)=-1\\ a-c=(1996x+1995)-(1996x+1997)=-2\\ b-c=(1996x+1996)-(1996x+1997)=-1\\

(ab)2+(ac)2+(bc)22=(1)2+(2)2+(1)22=1+4+12=62=3\begin{align*} \frac{(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2}{2}&=\frac{(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2}{2}\\ &=\frac{1+4+1}{2}\\ &=\frac{6}{2}\\ &=3 \end{align*}

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